🚀 Laboratorio Integrali: Livello Avanzato

Benvenuti! Avremo 2 ore intense ma interattive. Iniziamo con la correzione dell'esercitazione e poi passiamo alle tecniche che ci permetteranno di risolvere integrali più complessi: **Integrazione di Funzioni Composte**, **Per Sostituzione** e **Per Parti**.

1. 🔴 Correzione Interattiva (20-30 min)

Cliccate qui sotto per aprire la scheda di correzione dell'esercitazione sui polinomi, trigonometrici ed esponenziali.

(Si aprirà in una nuova finestra/scheda. Interagite con le schede ROSSA, BLU, VERDE e GIALLA per rivelare le risposte e il ragionamento.)

2. 📚 Tecniche di Integrazione Avanzate (30-40 min)

2.1. Integrazione di Funzioni Composte (Forma \( \int f'(x) [f(x)]^n dx \))

Questa è la prima tecnica "avanzata". Ci permette di integrare funzioni che assomigliano a una potenza, ma dove la base è una funzione \(f(x)\) e la derivata della base \(f'(x)\) è moltiplicata all'esterno.

\[ \int f'(x) [f(x)]^n dx = \frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1} + C \quad (\text{per } n \neq -1) \]

L'Idea Chiave: La parte \(f'(x)\) "completa" l'integrale, permettendo di trattare \(f(x)\) come fosse la variabile semplice \(x\). Se manca un fattore numerico \(k\) in \(f'(x)\), possiamo aggiungerlo e compensare moltiplicando per \(1/k\) fuori dall'integrale.

Esempio: \( \int 2x (x^2 + 1)^3 dx \)

  • \(f(x) = x^2 + 1\)
  • \(f'(x) = 2x\)
  • \(n = 3\)
\[ \int \underbrace{2x}_{f'(x)} \underbrace{(x^2 + 1)^3}_{[f(x)]^n} dx = \frac{(x^2 + 1)^{3+1}}{3+1} + C = \frac{(x^2 + 1)^4}{4} + C \]

2.2. Integrazione per Sostituzione

Questa tecnica è essenziale quando l'integrale è troppo complesso. Sostituendo una parte della funzione con una nuova variabile \(t\), si trasforma l'integrale originale in uno più semplice.

I Passaggi:

  1. **Scelta della Sostituzione:** Scegliere \(t = g(x)\) (spesso la parte "interna" o la radice).
  2. **Calcolo del Differenziale:** Calcolare \(dt = g'(x) dx\).
  3. **Sostituzione:** Sostituire \(x\), \(dx\) e l'intera espressione in termini di \(t\) e \(dt\).
  4. **Integrazione:** Calcolare l'integrale rispetto a \(t\).
  5. **Ritorno a \(x\):** Sostituire \(t\) con la funzione di \(x\) originale.

Esempio: \( \int x \sqrt{x^2 + 4} dx \)

  1. Scegliamo \(t = x^2 + 4\).
  2. Calcoliamo \(dt\): \(dt = 2x dx\). Da cui \(x dx = \frac{1}{2} dt\).
  3. Sostituiamo: \( \int \underbrace{\sqrt{x^2 + 4}}_{\sqrt{t}} \underbrace{x dx}_{\frac{1}{2} dt} = \int \sqrt{t} \cdot \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int t^{1/2} dt \).
  4. Integriamo: \( \frac{1}{2} \cdot \frac{t^{3/2}}{3/2} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} t^{3/2} + C = \frac{1}{3} t^{3/2} + C \).
  5. Torniamo a \(x\): \( \frac{1}{3} (x^2 + 4)^{3/2} + C \).

2.3. Integrazione per Parti

Si usa quando l'integrando è il prodotto di due funzioni che non sono in forma composta. Si basa sulla regola di derivazione del prodotto. È un processo di "scambio" che rende l'integrale più facile.

\[ \int f(x) g'(x) dx = f(x) g(x) - \int f'(x) g(x) dx \]

O, in notazione compatta, con \(u=f(x)\) e \(dv=g'(x)dx\):

\[ \int u dv = uv - \int v du \]

La Strategia della Scelta: La difficoltà è scegliere chi è \(f(x)\) e chi è \(g'(x)\). L'obiettivo è che \( \int f'(x) g(x) dx \) sia più facile di \( \int f(x) g'(x) dx \).

  • Scegli come \(f(x)\) (da derivare) la funzione che si semplifica o non cambia di complessità (es. **polinomi**, **logaritmi**, **arcotangente**).
  • Scegli come \(g'(x)\) (da integrare) la funzione che puoi facilmente integrare (es. **esponenziali**, **seno/coseno**).

Esempio: \( \int x e^x dx \)

  • Scegliamo: \(f(x) = x \Rightarrow f'(x) = 1\) (si semplifica)
  • Scegliamo: \(g'(x) = e^x \Rightarrow g(x) = e^x\) (facile da integrare)
\[ \int x e^x dx = x \cdot e^x - \int 1 \cdot e^x dx = x e^x - e^x + C = e^x(x-1) + C \]

3. 🧩 Esercizi Interattivi (50-60 min)

Scheda A: Integrazione di Funzioni Composte ( \( \int f'(x) [f(x)]^n dx \) )

Identifica \(f(x)\), \(f'(x)\) (e il fattore mancante!) e applica la formula.

1. \( \int 2x(x^2 - 1)^4 dx \)

\( f(x) = x^2-1 \), \( f'(x) = 2x \).
\[ \frac{(x^2 - 1)^5}{5} + C \]

2. \( \int x \sqrt{x^2 - 3} dx \)

\( f(x) = x^2 - 3 \), \( f'(x) = 2x \). Fattore mancante: 2.
\[ \frac{1}{2} \int 2x (x^2 - 3)^{1/2} dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{(x^2 - 3)^{3/2}}{3/2} + C = \frac{1}{3} (x^2 - 3)^{3/2} + C \]

3. \( \int \sin(x) \cos^4(x) dx \)

\( f(x) = \cos(x) \), \( f'(x) = -\sin(x) \). Fattore mancante: -1.
\[ - \int (-\sin(x)) \cos^4(x) dx = - \frac{\cos^5(x)}{5} + C \]

4. \( \int \frac{4x}{x^2 + 1} dx \)

Forma \( \int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln|f(x)| + C \).
\( f(x) = x^2+1 \), \( f'(x) = 2x \). \( 4x = 2 \cdot 2x \).
\[ 2 \int \frac{2x}{x^2 + 1} dx = 2 \ln|x^2 + 1| + C \]

5. \( \int e^{5x} dx \)

\( f(x) = 5x \), \( f'(x) = 5 \). Fattore mancante: 5.
\[ \frac{1}{5} \int 5 e^{5x} dx = \frac{1}{5} e^{5x} + C \]

6. \( \int \frac{\arctan(x)}{1+x^2} dx \)

\( f(x) = \arctan(x) \), \( f'(x) = \frac{1}{1+x^2} \). \( n=1 \).
\[ \frac{(\arctan(x))^2}{2} + C \]

7. \( \int (2x - 1) e^{x^2 - x} dx \)

\( f(x) = x^2 - x \), \( f'(x) = 2x - 1 \).
\[ e^{x^2 - x} + C \]

8. \( \int \frac{1}{x \ln(x)} dx \)

Riscrivi come \( \int \frac{1/x}{\ln(x)} dx \). Forma \( \int \frac{f'(x)}{f(x)} dx \).
\( f(x) = \ln(x) \), \( f'(x) = 1/x \).
\[ \ln|\ln|x|| + C \]

9. \( \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \arcsin^2(x) dx \)

\( f(x) = \arcsin(x) \), \( f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \). \( n=2 \).
\[ \frac{\arcsin^3(x)}{3} + C \]

10. \( \int \frac{\sin(2x)}{1 + \cos^2(x)} dx \)

\( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \).
\( f(x) = 1 + \cos^2(x) \), \( f'(x) = 2 \cos(x) (-\sin(x)) = - \sin(2x) \).
\[ - \int \frac{-\sin(2x)}{1 + \cos^2(x)} dx = - \ln|1 + \cos^2(x)| + C \]

Scheda B: Integrazione per Sostituzione

Trasforma l'integrale ponendo \(t = g(x)\). **Suggerimento:** Rendi l'argomento della radice o della funzione interna la tua \(t\).

1. \( \int x \sqrt{x+1} dx \)

Sostituzione: \( t = x+1 \Rightarrow x = t-1 \), \( dt = dx \).
\[ \int (t-1) \sqrt{t} dt = \int (t^{3/2} - t^{1/2}) dt = \frac{t^{5/2}}{5/2} - \frac{t^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{5} (x+1)^{5/2} - \frac{2}{3} (x+1)^{3/2} + C \]

2. \( \int \frac{1}{x \sqrt{\ln x}} dx \)

Sostituzione: \( t = \ln x \), \( dt = \frac{1}{x} dx \).
\[ \int \frac{1}{\sqrt{t}} dt = \int t^{-1/2} dt = \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = 2 \sqrt{\ln x} + C \]

3. \( \int \frac{x^2}{\sqrt[3]{x+2}} dx \)

Sostituzione: \( t = x+2 \Rightarrow x = t-2 \), \( dt = dx \).
\[ \int \frac{(t-2)^2}{t^{1/3}} dt = \int \frac{t^2 - 4t + 4}{t^{1/3}} dt = \int (t^{5/3} - 4t^{2/3} + 4t^{-1/3}) dt = \dots \] (Si noti che l'integrale risulta lungo ma fattibile con potenze)

4. \( \int e^{\sqrt{x}} dx \)

Sostituzione: \( t = \sqrt{x} \Rightarrow x = t^2 \), \( dx = 2t dt \).
\[ \int e^t \cdot 2t dt = 2 \int t e^t dt \] (Nota: Questo integrale si risolve con Integrazione per Parti. Inserito per discussione.)
Soluzione finale (dopo le parti): \( 2e^{\sqrt{x}}(\sqrt{x}-1) + C \)

5. \( \int \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} dx \)

Sostituzione: \( t = x^2 - 1 \), \( dt = 2x dx \Rightarrow x dx = \frac{1}{2} dt \).
\[ \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{t}} dt = \frac{1}{2} \int t^{-1/2} dt = \frac{1}{2} \cdot 2 t^{1/2} + C = \sqrt{x^2 - 1} + C \]

6. \( \int \frac{\cos x}{\sqrt{\sin x}} dx \)

Sostituzione: \( t = \sin x \), \( dt = \cos x dx \).
\[ \int \frac{1}{\sqrt{t}} dt = 2 \sqrt{t} + C = 2 \sqrt{\sin x} + C \]

7. \( \int \frac{e^x}{e^x + 3} dx \)

Sostituzione: \( t = e^x + 3 \), \( dt = e^x dx \).
\[ \int \frac{1}{t} dt = \ln|t| + C = \ln|e^x + 3| + C \]

8. \( \int (1-x)^3 dx \)

Sostituzione: \( t = 1-x \), \( dt = -dx \Rightarrow dx = -dt \).
\[ \int t^3 (-dt) = - \int t^3 dt = - \frac{t^4}{4} + C = - \frac{(1-x)^4}{4} + C \]

9. \( \int \frac{\sqrt{x}}{x+1} dx \)

Sostituzione: \( t = \sqrt{x} \Rightarrow x = t^2 \), \( dx = 2t dt \).
\[ \int \frac{t}{t^2 + 1} 2t dt = 2 \int \frac{t^2}{t^2 + 1} dt = 2 \int \left( 1 - \frac{1}{t^2 + 1} \right) dt = 2(t - \arctan(t)) + C = 2 \sqrt{x} - 2 \arctan(\sqrt{x}) + C \]

10. \( \int \frac{1}{x^2 + 4} dx \)

Sostituzione (Goniometrica - non necessaria, ma utile): \( x = 2t \Rightarrow dx = 2dt \).
\[ \int \frac{1}{4t^2 + 4} 2dt = \frac{2}{4} \int \frac{1}{t^2 + 1} dt = \frac{1}{2} \arctan(t) + C = \frac{1}{2} \arctan \left( \frac{x}{2} \right) + C \]

Scheda C: Integrazione per Parti ( \(\int u dv = uv - \int v du\) )

Decidi saggiamente chi è \(u\) (da derivare) e chi è \(dv\) (da integrare). Ricorda: Logaritmi e **Polinomi** spesso sono \(u\).

1. \( \int x \ln(x) dx \)

\( u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x} dx \). \( dv = x dx \Rightarrow v = \frac{x^2}{2} \).
\[ \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{1}{2} \int x dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C \]

2. \( \int x^2 e^x dx \)

\( u = x^2 \Rightarrow du = 2x dx \). \( dv = e^x dx \Rightarrow v = e^x \). (Doppia integrazione per parti)
\[ x^2 e^x - \int 2x e^x dx = x^2 e^x - 2 [x e^x - e^x] + C = e^x (x^2 - 2x + 2) + C \]

3. \( \int \arctan(x) dx \)

\( u = \arctan x \Rightarrow du = \frac{1}{1+x^2} dx \). \( dv = 1 dx \Rightarrow v = x \).
\[ x \arctan x - \int \frac{x}{1+x^2} dx \] (L'integrale residuo è una composta del tipo \(\int f'(x)/f(x) dx\))
\[ x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C \]

4. \( \int x \sin(3x) dx \)

\( u = x \Rightarrow du = dx \). \( dv = \sin(3x) dx \Rightarrow v = - \frac{1}{3} \cos(3x) \).
\[ x \left( - \frac{1}{3} \cos(3x) \right) - \int \left( - \frac{1}{3} \cos(3x) \right) dx = - \frac{x}{3} \cos(3x) + \frac{1}{9} \sin(3x) + C \]

5. \( \int \frac{\ln x}{x^3} dx \)

\( u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x} dx \). \( dv = x^{-3} dx \Rightarrow v = \frac{x^{-2}}{-2} = - \frac{1}{2x^2} \).
\[ \ln x \left( - \frac{1}{2x^2} \right) - \int \left( - \frac{1}{2x^2} \right) \frac{1}{x} dx = - \frac{\ln x}{2x^2} + \frac{1}{2} \int x^{-3} dx = - \frac{\ln x}{2x^2} - \frac{1}{4x^2} + C \]

6. \( \int e^{2x} \sin x dx \)

Integrale ciclico. Si applicano le parti due volte per poi risolvere per I.
\( I = \frac{1}{5} e^{2x} (2 \sin x - \cos x) + C \)

7. \( \int \arcsin x dx \)

\( u = \arcsin x \Rightarrow du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx \). \( dv = 1 dx \Rightarrow v = x \).
\[ x \arcsin x - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx \] (L'integrale residuo è una composta)
\[ x \arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C \]

8. \( \int \frac{\ln(x+1)}{\sqrt{x+1}} dx \)

Prima Sostituzione: \( t = x+1 \Rightarrow \int \frac{\ln t}{\sqrt{t}} dt \).
Ora Per Parti: \( u = \ln t \), \( dv = t^{-1/2} dt \Rightarrow v = 2 \sqrt{t} \).
\[ 2\sqrt{t} \ln t - 4 \sqrt{t} + C = 2 \sqrt{x+1} (\ln(x+1) - 2) + C \]

9. \( \int x \sec^2 x dx \)

\( u = x \Rightarrow du = dx \). \( dv = \sec^2 x dx \Rightarrow v = \tan x \).
\[ x \tan x - \int \tan x dx = x \tan x - (-\ln|\cos x|) + C = x \tan x + \ln|\cos x| + C \]

10. \( \int (x^2 + 2x) \cos x dx \)

\( u = x^2 + 2x \Rightarrow du = (2x+2) dx \). \( dv = \cos x dx \Rightarrow v = \sin x \). (Doppia integrazione per parti)
Soluzione finale: \( (x^2+2x-2) \sin x + (2x+2) \cos x + C \)