🚀 PROGETTO GENESIS

Correzioni Interattive - Antiderivate

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🔴 CORREZIONE SQUADRA ROSSA

Antiderivate Polinomiali

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📊 FASE 1: Tabella delle Antiderivate

Completiamo insieme la tabella fondamentale:

Derivata f'(x) Funzione Originale f(x) Verifica
f'(x) = 1 f(x) = x + C d/dx[x + C] = 1 ✓
f'(x) = x f(x) = x²/2 + C d/dx[x²/2] = 2x/2 = x ✓
f'(x) = x² f(x) = x³/3 + C d/dx[x³/3] = 3x²/3 = x² ✓
f'(x) = x³ f(x) = x⁴/4 + C d/dx[x⁴/4] = 4x³/4 = x³ ✓
f'(x) = x⁴ f(x) = x⁵/5 + C d/dx[x⁵/5] = 5x⁴/5 = x⁴ ✓
f'(x) = x⁵ f(x) = x⁶/6 + C d/dx[x⁶/6] = 6x⁵/6 = x⁵ ✓

🔍 FASE 2: Scoperta del Pattern

Pattern Osservato:

Per trovare l'antiderivata di x^n:

  1. Aumenta l'esponente di 1: n → n+1
  2. Dividi per il nuovo esponente: /(n+1)
  3. Aggiungi sempre + C

Esempio: Se ho x³:

  • Esponente: 3 → 4
  • Divido: x⁴/4
  • Risultato: x⁴/4 + C

📐 FASE 3: La Regola Generale

∫ x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C
(per n ≠ -1)

✅ Verifica della Formula:

Se ∫ x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C, allora:

d/dx[x^(n+1)/(n+1) + C] = (n+1)·x^n/(n+1) = x^n ✓

La formula funziona!

🎓 FASE 4: La Costante C

Perché aggiungiamo + C?

Esempio: Le funzioni f(x) = x², g(x) = x² + 5, h(x) = x² - 3

Tutte e tre hanno la stessa derivata: 2x

Conclusione:

  • Se so solo che f'(x) = 2x, ci sono infinite possibili funzioni f(x)
  • Tutte hanno la forma f(x) = x² + C, dove C può essere qualsiasi numero
  • C rappresenta una famiglia infinita di soluzioni

Quando usiamo C? Negli integrali indefiniti

Quando troviamo C? Usando una condizione iniziale (es: f(0) = 10)

🎯 PROBLEMI APPLICATIVI - Soluzioni

Problema 1: Velocità e Posizione

v(t) = 3t², s(0) = 10

Passo 1: Antiderivata generale

s(t) = ∫ 3t² dt = 3 · t³/3 + C = t³ + C

Passo 2: Uso condizione iniziale s(0) = 10

s(0) = 0³ + C = 10

Quindi: C = 10

Passo 3: Soluzione finale

s(t) = t³ + 10
Verifica: d/dt[t³ + 10] = 3t² ✓

Problema 2: Accelerazione

a(t) = 6t, v(0) = 2

Soluzione:

v(t) = ∫ 6t dt = 6 · t²/2 + C = 3t² + C

v(0) = 3·0² + C = 2 → C = 2

v(t) = 3t² + 2

Problema 3: Crescita Energetica

P(t) = 4t³, E(0) = 0

Soluzione:

E(t) = ∫ 4t³ dt = 4 · t⁴/4 + C = t⁴ + C

E(0) = 0⁴ + C = 0 → C = 0

E(t) = t⁴

Problema 4: Sfida Avanzata

f'(x) = 2x³ - 5x² + 3x - 1, f(1) = 0

Soluzione:

f(x) = ∫ (2x³ - 5x² + 3x - 1) dx

= 2·x⁴/4 - 5·x³/3 + 3·x²/2 - x + C

= x⁴/2 - 5x³/3 + 3x²/2 - x + C

f(1) = 1/2 - 5/3 + 3/2 - 1 + C = 0

1/2 + 3/2 - 1 - 5/3 + C = 0

2 - 1 - 5/3 + C = 0

1 - 5/3 + C = 0

-2/3 + C = 0 → C = 2/3

f(x) = x⁴/2 - 5x³/3 + 3x²/2 - x + 2/3

🔵 CORREZIONE SQUADRA BLU

Antiderivate Trigonometriche

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🔍 FASE 1: Il Mistero del Segno

Caso 1: Se f'(x) = cos(x)

Quale funzione ha derivata cos(x)?

Risposta: f(x) = sin(x) + C

Verifica: d/dx[sin(x)] = cos(x) ✓

∫ cos(x) dx = sin(x) + C

Caso 2: Se f'(x) = sin(x)

Quale funzione ha derivata sin(x)?

Proviamo con cos(x): d/dx[cos(x)] = -sin(x) ❌

Il segno è sbagliato!

Soluzione: Mettiamo un segno negativo davanti

f(x) = -cos(x) + C

Verifica: d/dx[-cos(x)] = -(-sin(x)) = sin(x) ✓

∫ sin(x) dx = -cos(x) + C

ATTENZIONE: Il segno negativo è fondamentale!

📐 FASE 2: Le Regole di Base

∫ sin(x) dx = -cos(x) + C

∫ cos(x) dx = sin(x) + C

Memo-trick per ricordare i segni:

  • cos → sin (nessun segno negativo)
  • sin → -cos (compare il segno negativo)

📊 FASE 3: Funzioni Più Complesse

Derivata f'(x) Antiderivata ∫ f'(x) dx Verifica
2sin(x) -2cos(x) + C d/dx[-2cos(x)] = 2sin(x) ✓
3cos(x) 3sin(x) + C d/dx[3sin(x)] = 3cos(x) ✓
sin(x) + cos(x) -cos(x) + sin(x) + C d/dx[-cos(x) + sin(x)] = sin(x) + cos(x) ✓
4sin(x) - 2cos(x) -4cos(x) - 2sin(x) + C d/dx[-4cos(x) - 2sin(x)] = 4sin(x) - 2cos(x) ✓

🎓 FASE 4: Proprietà di Linearità

Proprietà scoperta:

∫ [a·f(x) + b·g(x)] dx = a·∫ f(x) dx + b·∫ g(x) dx

In parole semplici:

  • L'integrale di una somma è uguale alla somma degli integrali
  • L'integrale di una costante per una funzione è uguale alla costante per l'integrale della funzione

Esempio:

∫ (3sin(x) + 2cos(x)) dx = 3∫sin(x)dx + 2∫cos(x)dx

= 3(-cos(x)) + 2(sin(x)) + C

= -3cos(x) + 2sin(x) + C

🎯 PROBLEMI APPLICATIVI - Soluzioni

Problema 1: Oscillazioni Armoniche

v(t) = -sin(t), x(0) = 1

Passo 1: Antiderivata generale

x(t) = ∫ -sin(t) dt = -(-cos(t)) + C = cos(t) + C

Passo 2: Condizione iniziale x(0) = 1

x(0) = cos(0) + C = 1 + C = 1

Quindi: C = 0

Passo 3: Soluzione

x(t) = cos(t)

🟢 CORREZIONE SQUADRA VERDE

Antiderivate Esponenziali

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🔍 FASE 1: La Funzione Magica

La proprietà unica di e^x:

Se f'(x) = e^x, allora f(x) = e^x + C

Verifica: d/dx[e^x + C] = e^x ✓

∫ e^x dx = e^x + C

Perché è speciale?

e^x è l'UNICA funzione che rimane identica sia derivando che integrando!

📐 FASE 2: Altre Basi

Funzione Derivata Quindi ∫ funzione dx
2^x 2^x · ln(2) 2^x / ln(2) + C
3^x 3^x · ln(3) 3^x / ln(3) + C
10^x 10^x · ln(10) 10^x / ln(10) + C
a^x a^x · ln(a) a^x / ln(a) + C

Verifica:

d/dx[a^x/ln(a)] = a^x·ln(a)/ln(a) = a^x ✓

📊 FASE 3: La Regola Generale

∫ a^x dx = a^x / ln(a) + C
(dove a > 0, a ≠ 1)

Caso speciale: Quando a = e

∫ e^x dx = e^x / ln(e) + C = e^x / 1 + C = e^x + C

Ecco perché e^x è così speciale!

🧮 FASE 4: Funzioni Composte Base

∫ 2e^x dx = 2 ∫ e^x dx = 2(e^x) + C = 2e^x + C

Verifica: d/dx[2e^x + C] = 2e^x ✓

∫ (e^x + 3) dx = ∫ e^x dx + ∫ 3 dx

= e^x + 3x + C

Verifica: d/dx[e^x + 3x + C] = e^x + 3 ✓

∫ (5e^x - 2·3^x) dx = 5∫e^x dx - 2∫3^x dx

= 5e^x - 2·(3^x/ln(3)) + C

= 5e^x - 2·3^x/ln(3) + C

🎯 PROBLEMI APPLICATIVI - Soluzioni

Problema 1: Crescita Batterica

r(t) = 2e^t, N(0) = 100

Passo 1: N(t) = ∫ 2e^t dt = 2e^t + C

Passo 2: N(0) = 2e^0 + C = 2 + C = 100

Quindi: C = 98

N(t) = 2e^t + 98

Problema 2: Decadimento Radioattivo

v(t) = -e^(-t), N(0) = 1000

N(t) = ∫ -e^(-t) dt

Nota: Questo richiede sostituzione (non ancora studiata)

Risultato: N(t) = e^(-t) + C

N(0) = e^0 + C = 1 + C = 1000

C = 999

N(t) = e^(-t) + 999

🟡 CORREZIONE SQUADRA GIALLA

Antiderivate Speciali

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🔍 FASE 1: Il Mistero di 1/x

Il problema:

∫ x^(-1) dx = ∫ 1/x dx = ?

La regola x^(n+1)/(n+1) darebbe x^0/0 = INDEFINITO!

La soluzione:

Ricordiamo che d/dx[ln(x)] = 1/x per x > 0

E d/dx[ln(-x)] = 1/x per x < 0

∫ 1/x dx = ln|x| + C
(per x ≠ 0)

Verifica:

  • Se x > 0: d/dx[ln(x)] = 1/x ✓
  • Se x < 0: d/dx[ln(-x)] = -1/(-x) = 1/x ✓

📊 FASE 2: Potenze Frazionarie

Funzione Come potenza Antiderivata
√x x^(1/2) x^(3/2)/(3/2) = (2/3)x^(3/2) + C
1/√x x^(-1/2) x^(1/2)/(1/2) = 2√x + C
∛x x^(1/3) x^(4/3)/(4/3) = (3/4)x^(4/3) + C
1/x² x^(-2) x^(-1)/(-1) = -1/x + C
1/x³ x^(-3) x^(-2)/(-2) = -1/(2x²) + C

🧮 FASE 3: Esercizi di Applicazione

∫ 2/x dx = 2 ∫ 1/x dx = 2 ln|x| + C

Verifica: d/dx[2 ln|x|] = 2 · 1/x = 2/x ✓

∫ 3√x dx = ∫ 3x^(1/2) dx

= 3 · x^(3/2)/(3/2) + C

= 3 · (2/3)x^(3/2) + C

= 2x^(3/2) + C = 2x√x + C

∫ (2/x + x) dx = ∫ 2/x dx + ∫ x dx

= 2 ln|x| + x²/2 + C

= 2 ln|x| + x²/2 + C

∫ (4x^(-2) - x^(-1/2)) dx

= 4 · x^(-1)/(-1) - x^(1/2)/(1/2) + C

= -4/x - 2√x + C

= -4/x - 2√x + C

🎯 PROBLEMI APPLICATIVI - Soluzioni

Problema 1: Legge di Gravitazione

F(r) = k/r², V(1) = 0

V(r) = ∫ k/r² dr = ∫ k·r^(-2) dr

= k · r^(-1)/(-1) + C = -k/r + C

V(1) = -k/1 + C = 0

C = k

V(r) = -k/r + k = k(1 - 1/r)

Problema 4: Funzione Mista

f'(x) = 2x + 3/x + √x, f(1) = 5

f(x) = ∫ (2x + 3/x + x^(1/2)) dx

= x² + 3ln|x| + (2/3)x^(3/2) + C

f(1) = 1 + 3·0 + 2/3 + C = 5

1 + 0 + 2/3 + C = 5

C = 5 - 1 - 2/3 = 10/3

f(x) = x² + 3ln|x| + (2/3)x^(3/2) + 10/3

Problema 5: Sfida Avanzata

f'(x) = (x² + 1)/x, f(1) = 3

Suggerimento: Dividi prima la frazione!

(x² + 1)/x = x²/x + 1/x = x + 1/x

f(x) = ∫ (x + 1/x) dx

= ∫x dx + ∫(1/x) dx

= x²/2 + ln|x| + C

f(1) = 1/2 + ln(1) + C = 3

1/2 + 0 + C = 3

C = 5/2

f(x) = x²/2 + ln|x| + 5/2